天涼好個秋.

洗澡時想過這問題嗎?

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视频部分请自备梯子,另外推导数学的公式使用 Google chart api 来生成的,不保证所有人都能看到。

好玩的问题

在YouTube上闲逛,发现了个好玩的问题:
【Fun科學】你洗澡時想過這問題嗎?(極度燒腦,高手請進)

将问题理想化

1.冷水管和热水管的流量比为1:1
2.热交换在瞬间完成
3.不考虑热量的损失(空气、管道、其他)

思路

自然是不会有什么温度越来越低的诡论的。在大部分状态下,都是无限趋近于某一个稳定状态。

第一个思路

设:当稳定状态下,花洒的出水温度为 x 度。
+ 这有一个陷阱:
花洒的流量是热水管的2倍哦,所以花洒和热水管热交换之后的温度
+ 热交换之后的热水管和冷水管混合的温度
+ 而这个温度应该等于 x

所以得到方程式:
解出:x = 35 度
也就是说最后的水温会无限趋近于 35 度。

第二个思路

【Fun科學】解答-洗澡詭論(普通版)

受这个普通解题思路的启发:
+ 花洒初始水温为:
+ 第一次水温改变后的花洒水温:
+ 将式子化简:
+ 第二次水温改变后花洒的温度为:
+ 将带入后化简整理式子:
+ 相同方法可得:
+ ...
+ ...
+ 最后不难得出:

可以看出包含:
+ n-1 项的等比数列,首项是,公比为的等比数列
+ 还有常数

由等比数列前n项和公式和简单的整理不难得出:

所以很明显:
当n趋近于正无穷时,收敛于35。

尾巴

第二个思路最后的得到的 推导的过程就不贴出来了(数学公式写起来太麻烦了),没经过严格的证明,所以可能是错的(笑)。
而将本文写在博客上的收获远不止解题思路那么简单,
+ 我学会了怎么在 markdown 中插入公式。
+ 大概了解了如何使用 LaTeX 来表示一个公式。
+ 了解了使用 Google chart api 生成公式的方法。
+ 自然还有使用Google chart api 加号 + 需要转译成 %2b 的坑(UrlEncode)。

所以收获满满不是嘛?

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